ПОЛЕЗНЫЕ СТАТЬИ


http://sias.ru/magazine/vypusk-2/istoriya-i-sovremennost/512.html


Исследования фракталов в изобразительном искусстве

«Фрактал» как концепт

По мере того, как идеи фрактальной геометрии французского математика Бенуа Мандельброта, изложенные в ряде его работ, среди которых наиболее известна «Фрактальная геометрия природы» [25], постепенно вышли за рамки естественно-научного дискурса, «фрактал» стал одним из наиболее популярных понятий в пост-постмодернистском исследовательском поле. Фрактальный анализ оказался полезным методологическим инструментом в гуманитарной математике: в экономике фондовых рынков, социологии, урбанистике, в т.н. математической истории, синергетических концепциях культуры, искусствометрии. В определенном смысле фрактальная концепция начала претендовать на парадигмальный статус в науке нового столетия. В любом случае, фрактал как парадигмальный концепт инициирует «переключение гештальта на сборку нового понятия, на распознавание и интерпретацию фрактальных структур в конкретных познавательных контекстах» [2].

Главным результатом своих научных трудов Б. Мандельброт считал «возвращение глаголу «видеть» его исконного смысла, порядком подзабытого как в общепринятом употреблении, так и в лексике «твердой» (количественной) науки: видеть – значит, воспринимать глазами (курсив автора)» [26, с. 19]. Важно, что именно компьютерные технологии и цифровая парадигма культуры пост-постмодерна, ориентированная на образ (image oriented – в терминологии У. Эко), сделали возможным это видение на уровне повседневных эстетических практик, подобно тому, как телескоп и микроскоп в свое время открыли новые области видимой реальности в научной среде. Фрактальная оптика видения извлекает из старого хаоса форм новый порядок, создавая и новую образность, и новые правила смыслопорождения.

Собственно термин «фрактал», введенный Б. Мандельбротом, образован, как объясняет сам ученый, от латинского причастия «fractus» и в соответствии с семантикой исходного глагола frangere имеет значение «фрагментированный», «изломанный» и «неправильный по форме» [4, с. 18]. Удивительно, но точного непротиворечивого математического определения фракталам не выработано до сих пор. В самом общем виде фрактал определяется как структура, состоящая из частей, которые в некотором смысле подобны целому. Существует и более строгая, но не безупречная с математической точки зрения дефиниция: фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича для которого строго больше его топологической размерности [4, с. 31]. Заметим, что, хотя фрактальные размерности используются как количественные показатели в некоторых исследованиях городского и художественного пространства (о чем речь пойдет ниже), их качественное содержание остается пока в значительной степени «вещью в себе».

Фундаментальным предикатом описания категории фрактала является самоподобие. Самоподобие означает, что подсистемы нижних уровней фрактальной системы повторяют конфигурацию целой системы и в пределах общей формы заключен точно или с некоторыми изменениями «тиражируемый» (в предельном случае – бесконечно тиражируемый) паттерн. Иначе говоря, фрагмент фрактала, идентичный целостной форме, воспроизводится на каждом последующем уровне меньшего масштаба, образуя своего рода «вложенную» структуру. Природными фракталами являются, например, береговые линии, горы, деревья с их ветвистыми кронами и листьями, снежинки, кровеносная система человека и др.

Подобие может быть жестким (инвариантным), т.е. абсолютно точным рекурсивным воспроизведением паттерна (как в т.н. геометрических фракталах: снежинка Коха, треугольник Серпинского (Рис. 1) и пр.) или нежестким (ко-вариантным), т.е. относительным, когда элементы фрактала при увеличении масштаба рассмотрения не повторяют систему в целом, но происходит почти полное повторение базовой формы во все более и более уменьшенном виде последовательно через каждые несколько ступеней масштабного преобразования (например, знаменитый алгебраический фрактал – множество Мандельброта (Рис.2)). Наконец, случайные, или стохастические, фракталы, у которых на разных шагах итерации параметры меняются случайным образом, обладают статистическим подобием (например, Броуновское дерево) [8; 20; 21].

Треугольник Серпинского

Рис. 1. Треугольник Серпинского

Множество Мандельброта

Рис. 2. Множество Мандельброта

При этом любой фрактал представляет собой визуализацию некоторого алгоритма, набора математических процедур, имеющих характер последовательных итераций. Общим для всех фрактальных структур является наличие рекурсивной процедуры их генерации, что означает бесконечную цепочку автопоэзиса, в которой каждый результат предыдущей итерации служит начальным значением нового цикла воспроизводства: zn+1 = f(zn).

В итоге с помощью относительно несложных математических формул, включающих комплексные числа, «можно описать форму облака так же чётко и просто, как архитектор описывает здание с помощью чертежей, в которых применяется язык традиционной геометрии» [22]. Б. Мандельброт отмечал: «Одни фрактальные изображения предельно реалистичны и легко «сходят» за настоящие фотографии гор, облаков, деревьев или звездных скоплений. Другие абсолютно абстрактны (как, например, изображения множества Мандельброта). Некоторые из этих изображений (как среди первых, так и среди вторых) обладают в нашем восприятии самостоятельной эстетической ценностью» [11, с. 19] (Рис. 3). На выборе эстетически значимых визуализаций математических алгоритмов и основано фрактальное компьютерное искусство. Предметом авторского права в нем является не цифровой оригинал, а математическая формула генерирования фрактала, например, «горящего корабля» (Рис. 4) или программный алгоритм.

Олег Войнилович,   Без названия

Рис. 3. Олег Войнилович, Без названия, 2010. [7]

Paul Bourke, Burning Ship

Рис. 4. Paul Bourke, Burning Ship (Горящий корабль).
Фрактал получен по модифицированной формуле множества Мандельброта
zn+1 = (|xn| + i |yn|)2 – c = xn2 - yn2 + 2 i |xnyn| - c [8]

Самоподобие, итерационность и рекурсивность фрактала сделали возможным появление нематематических концепций фрактальности. Фрактал оказался наглядной и операбельной визуализацией идеи бесконечного становления, незавершенности, процессуальности и имманентно «запрограммированной» динамики всех социокультурных феноменов. Фрактал, действительно, «не есть конечная форма (фрактал никто никогда не видел, так же как число π), а есть закон построения этой формы», «ген формообразования», как называет его российский математик и философ А.В. Волошинов [3, с. 73]. Главным содержанием фрактала как парадигмального концепта является бесконечное развертывание на каждом новом уровне погружения в упорядоченную или «хаотическую» структуру все тех же смыслов, заданных в «начале начал» – при неизменном фундаментальном подобии частей целому. При этом, как резонно замечает В.В. Тарасенко, автор нескольких книг по фрактальной логике и семиотике, налицо «интерсубъективная практика научного применения категории» [17]. Российский философ предлагает также обозначать термином «фрактальный нарратив» сложившийся в мире IV (мире медиа и цифровой культуры) «способ создания повествований, концептов, познавательных культурных практик» [18]. В настоящее время исследования фрактальности охватывают все сферы художественной культуры от изобразительного искусства до архитектуры, от литературы до кинематографа, от дизайна моды до рекламного дискурса. Концепт фрактальности одинаково эффективно используется как при создании текстильных узоров [38], и так при анализе семиотических уровней в рекламных иллюстрациях [49]. Фракталы – эти монстры и чудовища, как окрестили их математики на заре ХХ вв., «оказываются в состоянии послужить центральными концептуальными инструментами для нахождения ответов на некоторые с давних пор не дающие человеку покоя вопросы, связанные с формой мира, в котором он живет» [10, вкладка с.с. 19-20] и, добавим, который он творит.

Эстетика фракталов

Весьма примечательно, что сам трактат Мандельброта о фрактальной геометрии изобилует не только удивительными визуальными образами, но и неожиданными для математического текста вербальными метафорами: «острова», «пена» и «пыль», «ковры» и «салфетки», «аполлониева сеть», «истощенный дракон» и др. А вот как Б. Мандельброт описывает самоквадрируемые фрактальные кривые:

Драконья линька. Дракон, возводящий сам себя в квадрат, представляет собой совершенно бесподобное зрелище! Чудовищная «линька» отделяет бесчисленные складки от кожи на брюхе и спине дракона. Затем она растягивает шкуру на брюхе и спине так, что ее длина – которая, разумеется, и без того бесконечна – увеличивается вдвое! Затем шкура вновь складывается вдоль спины и брюха. И, наконец, на последнем этапе, все складки аккуратно водворяются на новые места [10, с. 271].

Тема соотношения математического и эстетического во фракталах в значительной мере занимала самого Б. Мандельброта [36; 49], который считал возможным включение своих фрактальных работ в какую-нибудь художественную экспозицию.

«Может ли форма, которая определяется простым уравнением или простым правилом построения, – спрашивал Б. Мандельброт в статье «Фракталы и искусство во имя науки», – восприниматься людьми, далекими от геометрии, как имеющая эстетическую ценность – а именно, как, по меньшей мере, удивительно декоративная или возможно даже как произведение искусства?» И сам отвечал: «Если геометрическая форма – фрактал, то ответ – да» [33, с. 21].

Б. Мандельброт полагал, что «многие из фракталов можно рассматривать как новую форму минималистского геометрического искусства» [10, с. 43]. «Фрактальное «новое геометрическое искусство», – отмечал ученый, – демонстрирует поразительное родство с картинами старых мастеров или творениями «изящной» архитектуры. Одна из очевидных причин заключается в том, что и фракталы, и произведения классических визуальных жанров искусства включают в себя многие масштабы длины и элементы самоподобия» [10, с. 43]. В качестве примеров классического «фрактального» искусства он приводил фронтиспис «Бог-геометр» французского «Библейского нравоучения в картинках» XIII века, рисунок Леонардо да Винчи «Всемирный потоп», гравюры японского художника конца XVIII – начала XIX веков. Кацусики Хокусая «Сто видов горы Фудзияма» и работы М. Эшера (XX века). Особое место в своем кратком искусствоведческом экскурсе, посвященном долгой предыстории фракталов, Б. Мандельброт отводит творчеству К. Хокусая, отмечая его потрясающее «чутье на фракталы» и смелость обращения к формам, которые были осознаны наукой гораздо позже. Творчество Хокусая, по мнению Мандельброта, может являться «лучшим доказательством того, что фрактальные структуры были известны человечеству с незапамятных времен, но описывались они только посредством искусства» [11, с. 189]. Знаменитая «Большая волна» (The Great Wave или The Breaking Wave off Kanagawa) (Рис.5) даже послужила прообразом графической фрактальной волны, сгенерированной Б. Мандельбротом [10, с. 196]. С тех пор выявление и подражание фрактальности классической живописи (Рис.6) стало увлекательной научной и художественной практикой ([42, с. 17] и др.).

К.Хокусай, Большая волна

Рис. 5. К.Хокусай, Большая волна, 1832.

Облако, сгенерированное с помощью фрактального алгоритма

Рис.6. Слева: Фрагмент картины «Два мужчины на мостике через ручей» (Two Men on a Footbridge over a Stream), Ван Гойен (Van Goyen), 1655.
Справа: Облако, сгенерированное с помощью фрактального алгоритма [31].

Однако сначала фрактальные картины должны были предстать перед широкой публикой. И вот в 1984 году институтом Гете была устроена выставка «Frontiers of Chaos» («Границы хаоса»), где в качестве произведений искусства впервые были предложены фрактальные изображения, выполненные математиками и физиками Бременского университета под руководством Петера Рихтера (P.Richter) и Ханца-Отто Пайтгена (O.-H.Peitgen). Многие из тех работ представляли собой цветные фрагменты множества Мандельброта и вошли в изданную десятилетие спустя книгу «Красота фракталов» [31]. По существу, публичная выставка визуализированных математических алгоритмов положила начало компьютерному фрактальному искусству и продолжающимся и поныне спорам о художественном статусе алгоритмического искусства (о чем пойдет речь ниже). Кстати, один из вопросов, поставленный «мимоходом» еще в первом издании «Фрактальной геометрии природы», касался как раз роли программы и, в частности, программной ошибки, в создании произведения высокого искусства [10, с.с. 345, 408-409].

В 1990-1995гг. выходят в свет книги американского математика и писателя К. Пикоувера (C.A.Pickover) о фрактальном искусстве, формат которых отсылает к классическим альбомам по искусству [44]. Фрактальная образность начинает постепенно институироваться в самостоятельном художественном жанре медийных искусств. В 1997 г. группа французских художников «Фракталисты – Искусство и сложность» (Pascal Dombis, Carlos Ginzburg, Yvan Rebyi, Pierre Zarcate и др.) публикует в художественном журнале «Art Press» фракталистский манифест «Les Fractalistes - Art et Complexité», который включает в себя следующую программную установку: «Группа утверждает своими произведениями парадигму хаотически-фрактальной сложности. <…> Парадигма хаотично-фрактальной сложности создает привилегированную динамику современного исследования, практик и знания» [29].

Два года спустя, в 1999г., появляется еще один манифест фрактального искусства «The Fractal Art Manifesto» – художника-фракталиста Кэрри Митчелла (Kerry Mitchell). Фрактальное искусство определяется в манифесте как жанр визуального 2D искусства, связанного с фракталами – формами или множествами, которые характеризуются самоподобием и имеют бесконечное число деталей в любом масштабе. Образы, которые технически не являются фракталами, созданными с помощью цифровых итерационных алгоритмов, но соответствуют фрактальному принципу организации художественного пространства, также относятся к фрактальному искусству. К. Митчел выявляет сущностные характеристики фрактального искусства (ФИ) через оппозицию логических отношений:

- ФИ не является результатом только компьютерной программы; фрактальные образы не являются случайными (в их основе лежат математические правила); не любой фрактальный образ, созданный любителем на компьютере, является произведением искусства;

- ФИ является выразительным; творческим; требующим серьезного труда и интеллекта [37].

В свою очередь, российский художник, автор техники фрактально-абстрактной фотографии Виктор Рибас отмечает, что эстетика фрактального искусства связана с принципиально иной образностью и способами ее восприятия. В. Рибас считает содержанием новой образности фракталов выход за границы реального мира, нейтральную проблематику, декоративность, интерьерность [13].

За неполные тридцать лет своей публичной истории в качестве арт-объектов фракталы стали предметом целого ряда художественных акций: от экспозиции «Strange Attractors: Signs of Chaos» («Странные аттракторы: Знаки хаоса») в Новом музее современного искусства в Нью-Йорке в 1989 г. до вернисажа под эгидой Института Философии РАН в рамках научного симпозиума «Автопоэзис и фракталы в междисциплинарных исследованиях сложности» в Москве в 2008 г., от шоу «First Friday Fractals» в планетарии Музея естественной истории и науки в штате Нью-Мексико (2009 -2011 гг.) до ночного фестиваля на открытом воздухе «Fractal Fields» в штате Айова (июнь 2009)1, от выставки «Chaos Postal» с фракталами на почтовых открытках (Парана, Бразилия, 2006) до выставки «Структурированный хаос» компьютерных фракталов Алексея Ермушева (Москва, 2011). С к. 1990-х гг. проводятся ежегодные международные конкурсы: Fractint / Fractal Art Contest (1997-2000 гг.), продолжением которого стал Benoit Mandelbrot Fractal Art Contest (2006-2011гг.); Ultra Fractal Contest (1999-2001гг., организатор Jannet Parke) и др.2

Постепенно понятие «фрактальное искусство» вышло далеко за рамки математического, алгоритмического, цифрового искусства. Концепции фрактальности обязаны своим возникновением такие новые формы живописи и медийного искусства как фрактальный экспрессионизм или fractalage («фракталаж», аналоговая фрактальная живопись) Дерека Нильсена (Derek K. Nielsen) [27], фрактальные монотипии Леа Лившиц [8], фрактальная абстракция Виктора Рибаса [43], фрактальный реализм Вячеслава Усеинова (Рис. 7) [19]и Алексея Сундукова [15], фрактальный супрематизм (В. Рибас, С. Головач, А. Работнов, А. Петтай и др.) (Рис. 8). [43]. Фрактальные картины самого разного композиционного и семантического типа, созданные разными медийными и программными инструментами с разной степенью мастерства выставляются ныне на многочисленных выставочных площадках – виртуальных и реальных3 .

В.Усеинов, Тень несуществующего дома

Рис. 7. В.Усеинов, Тень несуществующего дома , 2003, холст, масло.

Виктор Рибас, Composition N1

Рис. 8. Виктор Рибас, Composition N1, 2000-2005, с-print.

Фрактальность как количественная и качественная характеристика в изобразительном искусстве

Прорастая сквозь парадигматические трещины «традиционного» искусства (каким к концу ХХ века стал уже и авангард, и сюрреализм, и весь постмодернизм), фрактальная живопись и графика с их сложными паттернами «упорядоченного» хаоса, которые воспринимаются как красивые и интуитивно относятся к категории искусства, все настойчивее требуют философской и искусствоведческой рефлексии.

Первым методологическим инструментом, заимствованным гуманитарными науками из фрактальной геометрии, стала фрактальная размерность. В отличие от урбанистики, в которой вычисленное значение фрактальной размерности городских территорий пока никак не конвертируется в категории художественного описания пространства, в искусствознании был найден способ создания корреляционных связей между произведением изобразительного искусства и его фрактальной размерностью. Так, согласно данным специальных экспериментов, эстетическим предпочтениям зрителей может соответствовать определенная величина фрактальной размерности живописного образа (возможно, 1,5 [23]). Или изменения величины фрактальной размерности могут соотноситься с разными периодами творчества художника, возрастая, к примеру, у Джексона Поллока (Рис. 9) от значения, близкого к 1 в 1943 году до 1,72 в 1954 году, что предлагается в качестве объективного основания для датировки и подтверждения подлинности его работ [5]. Или же фрактальная размерность и ее динамика во времени может служить характеристикой целой художественной эпохи, например, раннекитайской пейзажной живописи [48].

J.Pollock, Convergence

Рис. 9. J.Pollock, Convergence, 1952

С другой стороны, фрактальность и ее типы все чаще рассматриваются как особая качественная (эстетическая и/или семантическая) характеристика произведения изобразительного искусства, независимо от способа его создания. В целом фрактальная образность анализируется с одной из двух инверсивных позиций: 1) приводятся характеристики, позволяющие отнести фрактальную компьютерную графику к категории искусства или 2) выявляются фрактальные структуры в произведениях традиционного искусства разных эпох и направлений (Д. Веласкеса, Дж. Поллока, М. Эшера, Х. Гриса, Дзж. Балла, С. Дали, Л. Уэйна, Г. Климта, Ван Гога, П. Филонова, А. Родченко и др.).

Среди наиболее значимых зарубежных работ по «фрактальной эстетике» – известная книга Дж. Бриггса «Фракталы: Узоры хаоса» [25], исследования Л. Кочик [31], Р. Абрахама, Дж. Спротта и их коллег [26], статьи Дж. Парк, Э. Келли (в т.ч. в специальном выпуске журнала «Ylem» – «Fractals as Art») [40, с. 40]и др. [39; 9]

В последние годы к алгоритмическому искусству и к фрактальному искусству в частности как предмету междисциплинарных исследований стали обращаться и отечественные философы, математики, художники и искусствоведы (А.В. Волошинов [3], С.В. Ерохин [6], В.В. Тарасенко [17], И.А. Евин [5], П.П. Николаев [12], В. Рибас [14] и др.[8; 9; 16]). Необходимо, однако, признать, что в российском научно-художественном дискурсе собственно тема фрактальной образности в искусстве еще недостаточно разработана.

Примечания:

1. Выставка «Strange Attractors: Signs of Chaos» http://archive.newmuseum.org/index.php/Detail/Occurrence/Show/occurrence_id/185; выставка «Автопоэзис и фракталы в междисциплинарных исследованиях сложности» http://contemporaryart.livejournal.com/191128.html; шоу «First Friday Fractals» http://fractalfoundation.org/fractal-shows/first-friday-fractals/; фестиваль «Fractal Fields» http://www.mindoutpsyde.com/events/fractal_fields.php; выставка «Chaos Postal» http://caos-postal.livejournal.com/2006/09/16/; выставка «Структурированный хаос» http://www.lesgallery.ru/exhibitions/fractals/.

2. Benoit Mandelbrot Fractal Art Contest http://www.fractalartcontests.com; http://www.fractalartcontests.com/2006/entries.php и последующие годы; Ultra Fractal Contest http://www.parkenet.org/jp/ufcontests.html

3. Виртуальные галереи http://browse.deviantart.com/digitalart/fractals/, https://www.fractalus.com/ и др.

Список литературы:

1. Бытачевская Т. Н. Фрактальность в «органическом» направлении русского авангарда. // Сборник научных трудов Северо-Кавазкого ГТУ. Серия «Естественнонаучная». 2008. № 4. C. 74-76.

2. Введение в экранную культуру: новые аудиовизуальные технологии под ред. К.Э. Разлогова. М., 2005.

3. Волошинов А.В. Математика и искусство. М., 2000.

4. Волошинов А.В. Об эстетике фракталов и фрактальности искусства: синергетическая парадигма. // Нелинейное мышление в науке и искусстве. М., 2002. С.213-246.

5. Евин И.А. Искусство и синергетика. М., 2009.

6. Ерохин С.В. Эстетика цифрового изобразительного искусства. СПб.: Алетейя, 2010.

7. Федер Е. Фракталы. М., 1991.

8. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. М., 2006.

9. Лившиц В.М. Новация в области изобразительного искусства и ее научное объяснение. http://www.psychology-online.net/link.php?id=289.

10. Лившиц В.М. Фракталы и монотипия. // Химия и жизнь. 2004, №9.

11. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.- Ижевск, 2010.

12. Мандельброт Б.Б. Фракталы и хаос. Множество Мандельброта и другие чудеса. М.-Ижевск, 2009.

13. Николаев П.П. Формализмы в искусстве модерна. Пути экспликации «гармонии» из «алгебры». // Языки науки - языки искусства. М., 2000, с.104-111.

14. Рибас В. Фрактал как инструмент искусствоведа и художника //Доклад на вернисаже выставки «Автопоэзис и фракталы в междисциплинарных исследованиях сложности». М., 2008.

15. Рибас В. Фрактальная абстракция. http://artgals.info/afisha/details/2613-1; http://www.ribas.ru/index-rus.html.

16. Семенова Е. Фрактальная геометрия реальности. График Александр Сундуков продолжает традиции Левши. // Независимая газета 10.06.2008.

17. Степанов Ю.С. Протей: Очерки хаотической эволюции. М., 2004.

18. Тарасенко В. Супрематизм и фрактальная геометрия: радикальный конструктивизм наблюдаемых форм. // Малевич. Классический авангард. Витебск. Вып.9. Альманах. – Мн.: Экономпресс, 2007.

19. Тарасенко В.В. Человек Кликающий: фрактальные метаморфозы. http://www.synergetic.ru/fractal/chelovek-klikayuschiy-fraktalnye-metamorfozy.html

20. Усеинов В. Поэтический манифест «Фрактального реализма». http://www.fractalrealism.sk.uz/project_r.html; http://www.useinov.sk.uz/.

21. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. М., Ижевск, 2001.

22. Юргенс Х., Пайтген Х.-О., Заупе Д. Язык фракталов в мире науки// Scientific American. № 10, Октябрь, 1990. С. 36–44.

23. Aks D.J., & Sprott J.C. Quantifying aesthetic preference for chaotic patterns// Empirical Studies of the Arts, 1996, 14(1), pp. 1-16.

24. Baald B. Fractals and Aesthetics: Pattern and Self-Reference. http://archive.birdhouse.org/words/baald/fractal.html

25. Briggs J. Fractals: The Patterns of Chaos: Discovering a New Aesthetic of Art, Science, and Nature. Toughstone, NY, 1992.

26. Draves S., Abraham R., Viotti P., Abraham F. D., Sprott J. C. The Aesthetics and Fractal Dimension of Electric Sheep. December, 2006.

27. Fractals as Art. (Editorial). YLEM #4, V.20, March-April, 2000. http://www.ylem.org/Journal/2000MarApril-clr.pdf

28. Fractal Expressionism. http://www.fractalage.com/; Fractalage. http://fractalartist.org/.

29. Les Fractalistes – Art et Complexitй. http://charles.vassallo.pagesperso-orange.fr/en/art/fractalist.html

30. http://www.ralph-abraham.org/articles/MS%23120.Electricsheep/sheepdim06.pdf

31. KocicL.M. Art Elements in Fractal Constructions//VISMATH, Vol.4, #1, 2002.

32. Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. New York, NY: W. H. Freeman and Company, 1977.

33. Madelbrot B.B. Fractals and an Art for the Sake of Science. Leonardo. Supplemental Issue, Vol. 2, Computer Art in Context: SIGGRAPH '89 Art Show Catalog (1989), pp. 21-24.

34. Mandelbrot B. Fractal Art Contest http://www.fractalartcontests.com; http://www.fractalartcontests.com/2006/entries.php.

35. Mandelbrot B. Les objets fractals: forme, hasard, et dimension. Paris: Flammarion, 1975.

36. Mandelbrot B.B. Scalebound or scaling shapes: A useful definition in the visual arts and in the natural sciences. Leonardo, 1981, Vol.14, p.45-47.

37. Mitchell K. The Fractal Art Manifesto. https://www.fractalus.com/info/manifesto.htm.

38. Munro P. Fractal for Fashion – Textile Weving Designs. http://www.fibre2fashion.com/industry-article/28/2766/fractals-for-fashion-textile-weaving-designs1.asp.

39. Nyikos L., Balasz L., Schiller R. Fractal Analysis of Artistic Images from Cubism to Fractalism. // Fractals, 1994, Vol.2.

40. Parke J. Fractal Art: A Comparison of Styles, 2003. http://www.infinite-art.com/index.about.comparison.php

41. Peitgen, H.-O., & Richter, P.H. The Beauty of Fractals: Images of Complex Dynamical Systems. Berlin: Springer, 1996.

42. Pellien J. Nature’s Geometry. http://press.princeton.edu/blog/category/art/.

43. Ribas V. From out-side/ Проект «Единение под сенью». http://fromoutside.narod.ru/.

44. Pickover C.A. Computers, Pattern, Chaos, and Beauty. St. Martin's Press. 1990;

45. Pickover C.A.The Pattern Book: Fractals, Art, and Nature. World Scientific, 1995.

46. Taylor R.P., Micolich A., Jonas D. Fractal analysis of Pollock’s drip paintings. // Nature, Vol. 399, 1999, p.422.

47. Ultra Fractal Contest. http://www.parkenet.org/jp/ufcontests.html

48. Voss R., Wyatt J. Multifractals and the Local Connected Fracral Dimension: Classification of Early Chinese Landscape Paintings. // Applications of Fractals and Chaos. Еds. Crilly A.J., Earnshaw R.A., Jones H. Berlin, 1993.

49. Wilson K. L., Wasserman J. A., Lowndes F. Picture and social concept: a fractal-concept analysis of advertising art// Visual Communication, Vol. 8, No. 4, 2009, р. 427-448.


К началу

На Главную


 
 
  © Все права защищены 2012-2015г.
Дизайн «ООО Системы будущего».
Сопровождение сайта www.OvoFix.ru
 
125480 г. Москва ул. Планерная д.3 кор.3 "Аэроэкология"
+79857623942 +74959442622 +79099929596 +79099929594
narod-akademia.com